Question

设点p在曲线y=1/2(e^x)上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为

答案 （1-ln2）√2

Answer 1

【注：一个结论：
设P, Q是两条不相交的曲线上的两个动点..
当两条曲线的过这两点的法线重合时，|PQ|最小。】】
解：
可设P(a, (e^a)/2,) Q(b, ln(2b))
易知：
曲线y=(e^x)/2在点P处的法线方程为：y=[-2/(e^a)]x+[2a/(e^a)]+[(e^a)/2]
曲线y=ln(2x)在点Q处的法线方程为：y=-cx+c²+ln(2c).
由上面结论，对比可得：
c=2/(e^a)
c²+ln(2c)=[2a/(e^a)]+[(e^a)/2]
解得： c=1, a=ln2
∴P(ln2, 1), Q(1,ln2)
∴|PQ|min=√[(1-ln2)²+(1-ln2)²]=(1-ln2)√2.

Answer 2

两条曲线互为反函数 也就是说关于y=x对称，做两条曲线的切线且平行于y=x，两切线的距离即最小值。

Answer 3

两条曲线互为反函数 也就是说关于y=x对称，做两条曲线的切线且平行于y=x，两切线的距离即最小值。
曲线y=1/2(e^x)到y=x的距离为d=|1/2(e^x)|/根号2
设函数g（x）=1/2(e^x)-x 求导为1/2(e^x)-1
则g（x）最小值为1-ln2）√2