Question

三棱柱用四种颜色涂这六个顶点，同一条棱两个端点不同色，有多少种涂法？

Answer 1

 

解法一:按选用颜色种数进行分类.

【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A必与F颜色相同、C与E颜色相同，故种方法.

（2）B、D、E、F用三种颜色，则有：B、E同色或D、F同色必有其一，若B、E同色，则A有异于B和D的两种颜色，C只有一种，D、F同色同理，；B与D同色，则A、C都有异于B、E两种选择，，故+=192种.

（3）B、D、E、F用二种颜色，只能B、E同色，D、F同色，A、C有异于B、D两种颜色，则有，所以共有不同的涂色方法有24+192+48=264种.

解法二：利用“捆绑法”,分步着色.

【解析】第一类：用三种颜色涂色，A、D、E颜色各不相同，若B与E同色，必有C与A、F与D同色，可将C与A看作一个整体，F与D看作一个整体;若B、D同色同理，故种.

第二类：四种颜色（都用）涂六个点，必有4个点的位置颜色不同，即这六个点中必有两组点同色，看作一个整体，而这两组必为：AF、AC、BE、BD、CE、DF中的两组，如下：（AF、BE），（AF、BD），（AF、CE），（AC、BE），（AC、BD），（AC、DF），（BE、DF），（BD、CE），（CE、DF）共9种，，共有不同的涂色方法有+=264种.

解法三：着眼于“位置”：以四边形ABCD为主分类、分步进行涂色.

【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，先涂四边形ABCD的4个顶点，有种，必有AC

或BD颜色相同，若AC颜色相同，E、F颜色唯一确定。BD同色同理，故种.

第二类：四种颜色全都用上，（1）先用两种颜色涂矩形ABCD的4个顶点，必有AC与BD颜色相同，剩下两种颜色E、F排列，故有种；（2）先用三种颜色涂矩形ABCD的4个顶点，第一步选三种颜色，必有AC或BD颜色相同，E有异于A、D两种颜色，F随之确定，故有种；（3）4种颜色先全部涂在矩形上，E有异于A、D两种颜色，F有异于B、C两种颜色，.共有不同的涂色方法+++=264种.

 

 

（法四）

解法四：类比空间三棱柱ADE-BCF如图2.

【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，设上一层A, D, E的颜色分别为a、b、c排列，下层仍然是颜色a、b、c排列，有2种方法，故有×2种.

第二类：四种颜色全都用上，设上一层A, D, E的颜色分别为a、b、c排列，下层包括第四种颜色d，但不包括abc中某一个颜色(例如a)，对于d与a在同一侧棱上时，只有1种方法，对于d与a不在同一侧棱上的情形，有2种方法，（即d可以涂在BCF三点中的任意一个点，有三种方法，而d涂在其中的一个点，另外两个点都对应着3中涂法）那么这种情形共有3×3 = 9种方法，故有×9种.

故共有不同的涂色方法总数为×11 = 264种方法.

解法五：①用四种颜色涂ABCD四个点，则E有异于A、D两种颜色，F有异于B、C两种颜色，即.②用三种颜色涂ABCD四个点，则必有AC或BD同色，当AC同色时，E、F有三种涂色方法，如ABD依次涂abd三种颜色，则有E：b,F:d;E:b,F:c;E:c,F:d三种涂法，故.③用两种颜色涂ABCD四个点，则AC和BD同色，EF有两种涂色方法，即.

故共有++=264.

评注　本题属于以涂色为平台的排列组合应用题,考查分类、分步计数原理.解法一抓住了这种题型的一个核心——颜色,从颜色入手进行突破；解法三抓住了这种题型的又一个核心——位置,从位置入手进行突破，这两种求解招数是求解这类题目的典型的正面直接求解法.解法二利用“捆绑法”,分步着色；解法四类比空间几何体，这两种求解招数是求解这道题目的创新解法，应具体题目具体分析.解决问题的关键是依据题意,找到一个确定的标准,合理对问题进行分类或分步,但必须注意分类讨论要全面,要做到不重不漏.

事实上,“涂色型”的排列组合问题错综复杂,解法灵活多样.因此,对于它们的求解方法,一定要具体问题具体分析.以上只是本人一孔之见,希望能抛砖引玉.

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Answer 2

是北京第四中学的题目，你要是小学生，不会做就算了：

解：设该三棱柱为ABC-DEF，4种颜色分别为1′、2′、3′、4′；
由三棱柱的特点可知A、B、C颜色互不相同，D、E、F颜色也互不相同；A与D、B与E、C与F颜色不同；
先为A、B、C涂颜色有涂法种，比如选择1′、2′、3′三个颜色．
对于D、E、F的涂法可分为两种情况：
①有是选颜色4′，再选择两个颜色有种，颜色4′涂一个点后另两个颜色涂法就确定了，故共有涂色方法3×3=9种；
②是没有选颜色4′，易知涂色方法有2种．
于是共有涂色方法24×（9+2）=264种；
故答案为264．

Answer 3

解：设三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，三个矩形面是相同
的，上下两个三角形底面是全等的，因此涂色方法不考虑它
的摆放方法。
（一）四种不同颜色：
相邻两点不同色的涂法共有2P(4,4)=2*4！=48种。
先任选一个矩形基面，比如AA1C1C，选好后不再变动，因为
是正三棱柱，若把其它矩形面选作基面，只须把三棱柱转动一
下就可以了，因此可不予考虑。基面上的四个点可从四种不同
颜色中任取一种，这有P(4,4)=4!=24种取法，取好一种以后，
其它两点B和B1只有两种选择。故按乘法原理，共有2P(4,4)
=48种涂法。
（二）五种不同颜色。
相邻两点不同色的涂法共有:
P(5,4)P(3,2)=(5*4*3*2)(3*2)=720种
这是因为基面上的四点可从5种不同颜色中任取四种涂抹，故有
P(5,4)=120种涂法，对基面的每一种涂法，其它两点可从基面
上已涂过的四种颜色中取2种及没有在基面中涂过的一种共3种不
同颜色中任取2种，故有P(3,2)种涂法，予是按乘法原理，共有
P(5,4)P(3,2)=720种涂法。

Answer 4

任找一个顶点，有4种涂法，同棱顶点就有3种涂法，一共有12种涂法。
其它无限制，共有3*4*＝36种

追问

不对！

追答

咽，应该是C（4，2）＝6，
3*6＝18种。

追问

还不对！

追答

是不对。其它顶点也有选择。今天头脑犯晕。我再想想。

追问

额，不对发什么？抢分啊！