Question

初三数学题！急急急！如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，-3),抛物线的顶点为D（1，-4）

如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，-3),抛物线的顶点为D（1，-4） （1）求该抛物线的解析式
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为抛物线的顶点为D（1，-4），所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)^2-4，将点C(0，-3)的坐标代入，得：a=1，所以抛物线的解析式为y=(x-1)^2-4，即y=x^2-2x-3
(2)令y=0，得：x=-1或3，所以A(-1，0)，B(3，0)，则|BC|=3√2，|CD|=√2，|BD|=2√5，因为
|BC|^2+|CD|^2=|BD|^2，所以以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，∠BCD=90°
（3）若点P在x轴上，由△PAC与△BCD相似可得：AC/CD=PC/BD，所以PC=10，此时点P坐标为(√91,0)
若点P在y轴上，当∠APC=90°时，显然点P在原点O处；若∠PAC=90°，由△PAC与△BCD相似可得：AC/BC=PC/BD，所以PC=10/3，此时点P坐标为(0，1/3)
综上所述，坐标轴上存在点P，使得△PAC与△BCD相似，点P的坐标分别为(0，1/3)，(√91,0)
和（0，0）

Answer 2

第一问设抛物线顶点式解析式，将C(0，-3),代入即可求；
第二问，用勾股定理分别求出CD、BC、BD线段的长度，运用勾股定理判断
第三问P、A、C为顶点的三角形与△BCD中有一个角是等角，只需分情况使另外一角对应相等即可