Question

已知向量m=（sinB，1-cosB），且与向量n=（2，0）夹角为π/3，其中A,B,C是三角形ABC的内角

第一问：求角B的大小第二问：求sinA+sinC取值范围

Answer 1

1）因为向量 n 与x轴正向同向，因此向量 m 与x轴正向夹角为 π/3 ，
所以由 1-cosB>0 得 tan(π/3)=(1-cosB)/sinB ，
化简得 1-cosB=√3sinB ，√3sinB+cosB=1 ，
√3/2*sinB+1/2*cosB=1/2 ，
sin(B+π/6)=1/2 ，因此 B+π/6=π/6 或 B+π/6=5π/6 ，
解得 B=2π/3 （舍去0）。

2）因为 A+C=π-B=π/3 ，
所以 sinA+sinC=sinA+sin(π/3-A)
=sinA+sin(π/3)cosA-cos(π/3)sinA
=sinA+√3/2*cosA-1/2*sinA
=1/2*sinA+√3/2*cosA
=sin(A+π/3)
由于 0<A<π/3 ，则 π/3<A+π/3<2π/3 ，
因此 √3/2<sin(A+π/3)<=1 ，
即 sinA+sinC 的取值范围是 （√3/2 ，1 ] 。