Question

求解一道几何数学题

文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”，他们对各自所作的辅助线描述如下。（已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC）文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D。”；彬彬：“做△ABCD的角平分线AD。”数学老师看了两位同学的辅助线做法后，说：“彬彬的做法是正确的。而文文的做法需订正。”（1）请你简要说明文文的辅助线做法错在哪里。（2）根据彬彬的辅助线做法，完成证明过程。

Answer 1

（1）中垂线是针对某一条线段而言的，而不能经过某一点在做某一条线段的中垂线。

（2）证明：见图

Answer 2

1)彬彬的做法的错误是：
过点A可以做BC的垂线，也可以做BC的中线，但不能做BC的中垂线。
也就是说，不可能过一点做已知线段的垂直平分线。
2）证明：做△ABC的角平分线AD
在△ABD与△ACD中
∠B=∠C,，∠BAD=∠DAC,AD=AD
所以△ABD≌△ACD
所以AB=AC

Answer 3

（1）错在过点A作BC的中垂线AD
(2)证明：作三角形ABC度角平分线AD
所以角BAD=角CAD
因为角B=角C
因为AD=AD
所以三角形ABD和三角形ACD全等（ASA)
所以AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形

Answer 4

文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D。”
错在：因为AB=AC还未求证，无法作出中垂线。
彬彬：“做△ABC的角平分线AD。”
因为角平分线AD，所以∠BAD＝∠CAD
因为∠B=∠C，AD＝AD
所以△ABD全等△ACD
所以AB=AC

Answer 5

其实两人都有错误：
文文：过点A做BC的垂线，其并不一定是BC的中垂线。
彬彬：“△ABCD”这是三角形还是四边形，表述不对