Question

为什么只有单调函数有反函数。

Answer 1

本视频是数学分析系列教学视频之一，侧重基础理论和基本方法的教学，有助于数学专业学生打好基础考研及非数学专业学生更好地学习高等数学。如果想直观理解相关的概念理论可参看我的高等数学视频。每周周一三五更新。

Answer 2

“只有单调函数才有反函数”的说法是不确切的,比如y=1/x,它就不是一个单调函数,但是的确有一个反函数的存在（虽然是它自己）.另外,“单调函数一定有反函数”的说法也不太确切.比如说一些单调分段函数,其中的一段是某个固定值,“反函数”中这一段直线就立了起来,不被称为函数了.
小生认为一般来说,“连续严格单调递增或连续严格单调递减函数,一定有反函数”,但反过来是不成立的,很多不连续的函数,甚至是散点状的函数都有反函数,且不单调.
单调函数的定义是：对于每一个x1>=x2,都有y1<=y2（以单调递减函数为例）。对于y=1/x来说，的确在一三两个象限内它是递减的，但是如果我们去x1=1，x2=-1（跨象限），楼主可以立即发现y1=1，y2=-1，此时x1>x2, y1>y2不符合单调递减函数的定义。原因就在于这个函数不连续，中间有一个错口，导致数值突然变化。

Answer 3

根据函数的定义，对于每一个x，只有一个y和它对应就OK。但如果不是单调函数，就会出现几个x对应同一个y值的情况出现。也就是一个y可能对应几个x，反函数过来就没法满足函数的定义了。
函数只要求每个x只有一个y对应，而反函数要求一一对应，这就是二者的不同。