Question

已知双曲线x²-y²/2＝1，过点P（2,1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。

Answer 1

设过P(2,1)的直线方程为:y-1=k(x-2)，即:y=kx-2k+1
联立双曲线x^-y^/2 =1与此直线的解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程：
(k^-2)x^ - (4k^-2k)x +(4k^-4k+3)=0
且此方程的△=(4k^-2k)^-4(k^-2)*(4k^-4k+3)=24(k -2/3)^ +40/3>0
设直线与双曲线的两个交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则上述方程的两个不同实根必为直线与双曲线两个不同交点P1,P2的横坐标x1,x2，于是有：
x1+x2=(4k^-2k)/(k^-2) ①
将P,Q两点的纵坐标分别用其横坐标表示：
y1=kx1-2k+1
y2=kx2-2k+1
∴y1+y2=k(x1+x2)-4k+2
将①式代入，得：
y1+y2=(8k-4)/(k^-2) ②
由中点坐标公式，可得出P1P2中点M(x,y)的坐标为：
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
联立①，②式，可得：
x=(2k^-k)/(k^-2)
y=(4k-2)/(k^-2) ③
两式相比，得：
x/y=k/2
<=>k=2x/y
将此式代入③，最终化简得到：
(x-1)^/(7/8) - (y-1/2)/(7/4) =1
（化简过程中，等式两边同时消去y，因为通过图像可知，y不可能恒为0）
即，P的轨迹为中心在(1,1/2)，交点在x轴上的双曲线

Answer 2

其实没必要搞得那么复杂，这种类型的题目可以用点差法
点差法知道怎么回事吧？？点差之后可以得到P1P2的斜率k=2x/y=(y-1)/x
所以(y-1/2)²-2(x-1)²=7/4
点差法要是不会的话你再追问吧，你自己可以对比一样点差法还是很有优势的，呵呵

你都选择了满意答案了，算了，你要按照第一种的做法的话那么你就得花很长时间计算和化简了

追问

我知道，没办法我已经选择了满意答案了，但也很感谢你。谢谢！！！