Question

计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为，x^2+y^2+z^2=1的外侧。

运用高斯公式可得3∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dV,若把后面条件带入可得3∫∫∫dv=4π,
而运用球面坐标系可算的结果12π/5,答案是后者，为什么上面的做法不对？要考试了！跪求高手！呜呜。。。

Answer 1

因为用完高斯公式后是三重积分，三重积分的积分区域中x²+y²+z²≤1，并不等于1。因此不能用1来代替x²+y²+z²。

有个很简单的方法记住这个结论：只需记住二重积分和三重积分不可以用区域来化简被积函数，只有曲线积分和曲面积分可以。

追问

非常谢谢你！是不是说积分号后面是ds(对弧长的曲面积分）和dS（对面积的曲面积分）时才可以用区域来化简被积函数，而对坐标的曲线积分（二重积分）和对坐标的曲面积分（三重积分）不能用区域来化简被积函数，不知道我的理解是否正确？

追答

不管第一还是第二型曲面积分或曲线积分都可以根据公式化成三重积分或二重积分
转化后就不能用区域来化简被积函数