在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、B(3,5)，以AB为边作如图所示的正方形ABCD,顶点在坐标原点的抛物线恰好
（！）直接写出点D的坐标。
（2）求抛物线的解析式。
（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差。
（3）当点P位于何处时，三角形APB的周长有最小值？并求出三角形APB的周长的最小值。 展开
解：（由于图未给定，那么抛物线的开口方向无法确定，附图中实线为求解所作，虚线为次可能性）
(1)D(﹣4，4)；
(2)由于抛物线顶点为原点，那么可设抛物线为y=ax²，将点D坐标带入解得a=1/4；
因此，所求抛物线解析式为y=1/4•x²；
(3)由于点P是抛物线y=1/4•x²上的动点，那么点P(x，1/4•x²)，则所求距离的差值为
δD=√[x²+(1/4•x²-1)²]－x
=(1/4•x²+1)-x
=(1/2•x-1)²
即此差值呈抛物线变化；
(4)由于抛物线为y=1/4•x²，即x²=2•2y，那么点A(0，1)即为其焦点；
作抛物线准线x=﹣1，再过点B作准线的垂线，且垂足为点E，与抛物线的交点为点P'，那么AP'=EP'；而点P'在抛物线上，且其横坐标为3，那么点P'坐标为(3，9/4)；由于两点之间线段最短，那么此时△APB的周长最短；
因此，当点P为(3，9/4)时，△APB的周长值最小，且为
L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|
=5+6
=11.
（以y轴为对称轴的抛物线标准方程：x²=2•p•y，焦点(0，p/2)，准线方程为x=﹣p/2）
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