Question

跪求泰勒级数展开式的推理过程TAT 妹子学数学不容易

Answer 1

就是在某点附近用多项式去近似替代函数
设函数近似为一个多项式 f(x)=a0+a1(x-x0)^1+a2(x-x0)^2+...an(x-x0)^n
然后由f(x0)=a0
f'(x0)=a1
f''(x0)=2*1*a2
f'''(x0)=3*2*1*a3
...
f^(n)(x0)=n!*an
得an=f^(n)(x0)/n!
代回多项式中即得泰勒公式

追问

这个不是麦克劳林级数吗。。。
还有为什么可以设函数近似为一个多项式？
麦客老林级数和泰勒级数有什么区别和关系？
你说某点附近，那为什么越靠近该点，一定项数的级数所得的值越精确？

谢谢乃！

追答

1.简单的说多项式是很简单的函数 所以用多项式近似代替函数
严格证明可看维尔斯特拉斯第一逼近定理：闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近
2.x0=0时泰勒公式又称麦克劳林公式
3.rn(x)=o((x-x0)^n)
故x->x0时rn(x)->0
故pn(x)=f(x)-rn(x) ->f(x)