Question

设数列{an}的前n项和为bn,数列{bn}的前n项和为Sn,且bn+Sn=n.(1)求数列{(bn)-1}的通

项公式;(2)判断关于n的方程1/an=2*(bn+Sn)的解的个数，并证明你的结论

Answer 1

解：
1.
n=1时，b1+S1=2b1=1
b1=1/2
n≥2时，
Sn=-bn+n S(n-1)=-b(n-1)+(n-1)
Sn-S(n-1)=bn=-bn+n+b(n-1)-(n-1)
2bn=b(n-1)+1
2bn -2=b(n-1) -1
(bn -1)/[b(n-1)-1]=1/2，为定值。
b1-1=1/2-1=-1/2
数列{bn -1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
bn -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
数列{bn -1}的通项公式为bn -1=-1/2ⁿ
2.
bn=1 -1/2ⁿ
a1+a2+...+an=1 -1/2ⁿ (1)
a1+a2+...+a(n-1)=1- 1/2^(n-1) (2)
(1)-(2)
an=1-1/2ⁿ-1+1/2^(n-1)=1/2ⁿ
Sn=b1+b2+...+bn=n -(1/2+1/2²+...+1/2ⁿ)=n -(1/2)[1-(1/2)ⁿ]/(1-1/2)=n -1+1/2ⁿ
1/an=2ⁿ，bn=1-1/2ⁿ，Sn=n-1+1/2ⁿ代入方程
2ⁿ=2(1-1/2ⁿ+n-1+1/2ⁿ)
整理，得
2ⁿ=2n
n=1时，2=2，等式成立，n=1是方程的解；
n=2时，4=4，等式成立，n=2是方程的解；
n≥3时，2ⁿ>2n，等式不成立。
综上，得方程的解的个数为2，即方程有两解：n=1，n=2。