Question

如图在Rt△ABC中,CD为斜边上的高,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,AE=64,BF=27,求AB的长

Answer 1

∵CE⊥DE、CE⊥CF、DF⊥CF，　∴CEDF是矩形，　∴DE＝CF、DF＝CE。
∵CD⊥AD、DE⊥AC，　∴由射影定理，有：DE^2＝AE×CE＝64DF。
∵CD⊥BD、DF⊥BC，　∴由射影定理，有：DF^2＝BF×CF＝27DE，
∴DF^4＝27^2DE^2＝27^2×64DF，　∴DF^3＝27^2×64＝27^2×8^2＝（3^3×2^3）^2，
∴DF＝（3×2）^2＝36，　∴DE＝DF^2/27＝36^2/27＝（3×12）^2/（3×3^2）＝12×4＝48。
∴AC＝AE＋CE＝AE＋DF＝64＋36＝100、　BC＝BF＋CF＝BF＋DE＝27＋48＝75。
由勾股定理，有：
AB^2＝AC^2＋BC^2＝100^2＋75^2＝25^2×（4^2＋3^2）＝（25×5）^2＝125^2，
∴AB＝125。