Question

若:lim(n→∞)np^(1/n)-n=lnp 则则证明：lim(n→∞){[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n

Answer 1

证法一
设f(x)={[a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x)]/3}^x，则：
lnf(x)=xln{[a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x)]/3}=ln{[a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x)]/3}/(1/x)，当x→∞时，由罗比达法则，limlnf(x)=lim{3/[a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x)]}*(1/3){[(a^(1/x)lna(-1/x^2)]+[(b^(1/x)lnb(-1/x^2)]+)[(c^(1/x)lnc(-1/x^2)]}/(-1/x^2)=(1/3)ln(abc)，所以f(x)趋于（abc)^(1/3)
当n→∞时，上述结论同样成立，故所求极限为（abc)^(1/3)。
另解，用已知条件
lim{[a^(1/n)+b^(1/n+c^(1/n)]/3}^n=lim { 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3 }^(3/[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]n[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3
{ 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3 }^(3/[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]趋于e,由已知条件：
n[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3=na^(1/n)-n+nb^(1/n)-n+nc^(1/n) -n ]/3趋于ln(abc)/3
所以极限为e^(ln(abc)/3)=(abc)^(1/3)

证法二
=e^lim(n→∞) n·ln[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3]
=e^lim(n→∞) n·ln{ 1 + [a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3 }
=e^lim(n→∞) n·[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n) -3 ]/3 【等价无穷小代换】
=e^lim(n→∞) n·{[e^(1/n)lna -1] + [e^(1/n)lnb -1]+ [e^(1/n)lnc -1] }/3【取底再取对数，并且将-3拆成3个-1】
=e^lim(n→∞) n·{(1/n)lna + (1/n)lnb + (1/n)lnc }/3【等价无穷小代换】
=e^ {lna + lnb + lnc }/3
=e^ ln(abc) /3
=(abc)^(1/3)

追问

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追答

证法3
∵{[a^(1/3)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}^n

={{1+[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^{3/[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]}}^{n[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)]/3}

=e^{n[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}*
ln{1+[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^{3/[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]}

lim(n→∞)(1/3){[a^(1/n)-1]/(1/n)+[b^(1/n)-1]/(1/n)+[c^(1/n)-1]/(1/n)}ln[lim(n→∞)(1+h)^(1/h)]

∴原式=e

其中{h=[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3 →0 (n→∞)}

e=(lna+lnb+lnc)lne/3

e^[(1/3)lnabc]=(abc)^(1/3)