Question

已知函数f（x）=4^x+m·2^x+1有且仅有一个零点，求实数m的取值范围，并求出该零点

令y=2^x
F(y)=y^2+My+1
∵y=2^x在R上单调递增，y>0
只需F(y)在（0，+∞）上仅有一个零点
又∵F(0）=1>0,F(y）为开口向上的抛物线
∴只能Δ=0即M^2-4=0,而对称轴即x=－M/2>0
∴M=－2
解得y=1
∴x=0，零点为（0,0）
用这种方法以外的方法做

Answer 1

　方法一　令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0
仅有一正根，而g(0)＝1>0，故
∴m＝－2.
方法二　令2x＝t，则t>0.
原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根．
∴t2＋1＝－mt.
∴－m＝＝t＋(t>0)．
有一个零点，即方程只有一根．
∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时)，
∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．
注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．

Answer 2

零点问题就用这种方法很不错的