Question

在四边形ABCD中,<ABC=<ADC=60度,对角线AC垂直AD,AD=2,求BD的最大值。

Answer 1

解：题面有一个笔误，对角线BC垂直AD（写成了AC），见下图黑色图线。这是一个菱形因边长发生变化而产生的图形。

设∠BDA=a,因为∠ABC=∠ADC=60D;  则∠BAD=180D-(60D+a);根据正弦定理：

AD/sin60D=AB/sina=BD/sin(60D+a);

BD=ADsin(60D+a)/sin60D=ADcosa+(1/2)ADsina/(√3/2)=AD[cosa+(√3/3)sina]

>=2√cosa*√[(√3/3)sina]=2√(3√3)/3*√sinacosa

<=2√(3√3)/3*[√(sin^2a+cos^2a)/√2](当sina=cosa时）=√(6√3)/3。

当sina=cosa=1/√2,a=45D时，△BOD为等腰直角三角形时，

BD(max)=√(6√3)/3。