Question

高中有关函数的3个问题

1.已知函数f(x)=sin(x+7π/4）+cos（x-3π/4），x∈R
(1)求f(X)最小正周期和最小值；
（2）已知cos(B-a)=4/5,cos(B+a)=-4/5,0<a<B<=π/2，求证：[f(B)]²-2=0；
2.已知函数f(x)=2sin²（π/4+x)-√3cos2x,x∈[π/4，π/2]，求f(x)的最大值和最小值；
3.设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos²(π/2-x)满足f（-π/3）=f(0),求函数f(x)在[π/4,11π/24]上的最大值和最小值。

Answer 1

都是两角和与差的三角函数及二倍角公式，和降幂公式
1.(1)f(x)=根号2/2sinx-根号2/2cosx-根号2/2cosx+根号2/2sinx
=根号2sinx-根号2cosx
=2sin(x-π/4)
T=2π，f(x)min=-2
(2)因为cos(B-a)=4/5,cos(B+a)=-4/5，0<a<B<=π/2
所以sin(b-a)=3/5,cos(b+a)=3/5
sin2b=sin(b+a+b-a)=sin(b+a)cos(b-a)+cos(b+a)sin(b-a)=0
f^2(b)-2=4sin^2(b-π/4)-2
=2(1-cos(2b-π/2))-2=-2sin2b=0,得证
2.3省略，自己练习去，这么多问题也没有分啊！

追问

你帮我解决了吧，我给你分，我学得不透彻，解不出来。好心人。

追答

(2)f(x)=1-cos(π/2+2x)+根号3cos2x=1+sin2x+根号3cos2x
=1+2sin(2x+π/3)
f(x)max=3,f(x)min=-1
(3)f(x)=asinxcosx-cos^2x+sin^2x=a/2sin2x-cos2x
f（-π/3）=f(0),则有a/2*(-根号3/2)+1/2=-1,a=2根号3，
f(x)=根号3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)
x∈[π/4,11π/24]，2x-π/6∈[π/3,3π/4]，
f(x)max=2,此时x=π/3
f(x)min=根号2，此时x=11π/24.
好了，给分吧，设为最佳答案哦，亲！