Question

已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=1/5 把1/(cos^2α-sin^2α)用tanα表示出来，并求其值。

Answer 1

解：1/(cos^2α-sin^2α)=(cos^2α+sin^2α)/(cos^2α-sin^2α)
=(1+tan^2α)/(1-tan^2α)
因为：sinα+cosα=1/5 ，且sin^2α+cos^2α=1
所以，可解得：sinα=4/5 , cosα=-3/5 或 sinα=-3/5 , cosα=4/5
因为：α是三角形的内角，
所以：必有sinα>0
得：sinα=4/5 , cosα=-3/5
所以：tanα=sinα/cosα=-4/3
所以，原式=[1+(-4/3)^2]/[1-(-4/3)^2] =-25/7

Answer 2

sinA+cosA = sqrt(2) sin(A+pi/4)
sin(A+45) = 1/(5sqrt(2))
cos(A+45) = 7/(5sqrt(2))
tan(A+45) = 1/7
tan(A+45) = (tanA + 1) / (1-tanA) = (tanA +1 )^2 / (1-tan^2 A) = cos^2 A (1+tanA)^2 / (cos^2 A - sin^2 A) = (sinA+cosA)^2 / (cos^2 A - sin^2 A)
1/(cos^2 - sin^2 A) = tan(A+45) / (sinA+cosA)^2 = 1/7 / 1/25 = 25/7