Question

求这个幂级数的和函数

Answer 1

令s= E x^(4n-2)/(4n-2) （E表示求和符号）
则s/x^2 = E x^(4n-2)/(4n-2)
两边求导得：
【s/x^2】’ =E [x^(4n-2)/(4n-2)]’
= E x^(4n-3)
= E x^(4n) / x^3
因为
E x^(4n)=x^4 / (1-x^4) （等比数列求和）
所以
【s/x^2】’ = E x / (1-x^4)
两边积分：
s/x^2=∫x / (1-x^4) dx
= 0.5∫ 1 / (1-x^4) dx^2
所以:
s=x^2*0.5∫ 1 / (1-x^4) dx^2
令：t=x^2
则:
s=t*0.5∫ 1 / (1-t^2) dt
= t*0.5∫I /(1+t)(1-t) dt
= t*0.5∫[1/(1-t) – 1/(1+t)]dt
=0.5t {-ln (1-t) -ln(1+t)]= -0.5t ln [ (1-t) *(1+t)]
将t=x^2带入得 ：
s= -0.5x^2* ln [ (1- x^2) *(1+ x^2)]