Question

已知二项式（1/2+2x)^n,若展开式中前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项。

Answer 1

第一项的二项式系数：1，,第二项的二项式系数：n，第三项的二项式系数：n*(n-1)/2
三项和为：1+n+n*(n-1)/2=79,整理得：n^2+n-156=0，解得：n=-13(舍去),n=12
原式可化为：[(1/2)^12]*(1+4x)^12
可以只考虑 (1+4x)^12 的系数的最大值，第K项的系数记为CK=4^(k-1)*C(12)(K-1),其中4^(k-1)递增，Cn(K)在k=7时最大，之后递减，且C(12)(7)=6/7*C(12)(6)，4^7=4*4^6,所以C7>C6
由此推出，当k/(n-k+1)<4时，CK递增，k/(n-k+1)>4时，CK递减，又因为10/3<4,11/2>4,
所以k=10时系数最大，为：：[(1/2)^12]*4^9*C(12)(9)=2^6*12*11*10/(1*2*3)=64*220=14080
此项为：14080*x^9

追问

数神！小弟向您磕头！我的问题是第5排6/7是哪来的？答了追加，加多少您说了算

Answer 2

前三项的二项式系数的和=Cn0+Cn1+Cn2=79
1+n+n(n-1)/2=79
n²+n-156=0
(n-12)(n+13)=0
n=12

第k项系数是C(12,k-1)*(1/2)^(13-k)*2^(k-1)
=C(12,k-1)*2^(2k-14)

后面只能试了
C(12,k-1)最大则k=7
则k=7，系数=924
k=8，系数3168
k=9，系数=7920
k=10，系数=14080
k=11，系数=16896
k=12，系数=12288
所以是16896x^10
貌似想不出好办法