Question

已知在等腰三角形abc中，AB=AC，AD平行BC，CD⊥AC，连接BD交AC于P

（1）如图 过点C作CH⊥AB于点H，CH、BD交于点E 求证 CE=HE

Answer 1

下面的记号△表示三角形的面积，注意这种方法不做辅助线。
由等高三角形面积公式有CE/HE=△BHE/△BEC=△HED/EDC
由合分比公式△BHE/△BEC=△HED/EDC=△BCD/△BDH
由AD∥BC知，△BCD/△BDH=△ABC/△BDH
然后乘一项在除一项，△ABC/△ABD=BC/AD(两三角形等高)△ABD/△BDH=AB/BH(等高)：△ABC/△BDH=(△ABC/△ABD)*(△ABD/△BDH)=(BC*AB)/(AD*BH)
因AB=AC，故∠ABC=∠ACB=∠CAD(AD∥BC)，BH⊥HC，AC⊥CD，所以△BHC∽△ACD
故BH/BC=AC/AD=AB/AD
所以连等一下上面的结果得到：CE/HE=△BHE/△BEC=△HED/EDC=△BCD/△BDH=△ABC/△BDH=(△ABC/△ABD)*(△ABD/△BDH))=(BC*AB)/(AD*BH)=1
即HE=CE

Answer 2

下面的记号△表示三角形的面积，注意这种方法不做辅助线。
由等高三角形面积公式有CE/HE=△BHE/△BEC=△HED/EDC
由合分比公式△BHE/△BEC=△HED/EDC=△BCD/△BDH
由AD∥BC知，△BCD/△BDH=△ABC/△BDH
然后乘一项在除一项，△ABC/△ABD=BC/AD(两三角形等高)△ABD/△BDH=AB/BH(等高)：△ABC/△BDH=(△ABC/△ABD)*(△ABD/△BDH)=(BC*AB)/(AD*BH)
因AB=AC，故∠ABC=∠ACB=∠CAD(AD∥BC)，BH⊥HC，AC⊥CD，所以△BHC∽△ACD
故BH/BC=AC/AD=AB/AD
所以连等一下上面的结果得到：CE/HE=△BHE/△BEC=△HED/EDC=△BCD/△BDH=△ABC/△BDH=(△ABC/△ABD)*(△ABD/△BDH))=(BC*AB)/(AD*BH)=1
即HE=CE