Question

f(x)+g(x)=x,g'(x)=f(x)-g(x，f(0)=g(0)=0,求f(x),g(x)

已知f(x)+g(x)=x,g'(x)=f(x)-g(x)且f(0)=g(0)=0,定义域为正实数求f(x),g(x)的

Answer 1

解:微分方程组为f(x)+g(x)=x，g'(x)=f(x)-

g(x)；有g'(x)=x-g(x)-g(x)，g'(x)+2g(x)

=x，g'(x)e^2x+2g(x)e^2x=xe^2x，

[g(x)e^2x]'=xe^2x，g'(x)e^2x=

0.5xe^2x-0.25e^2x+c(c为任意常数)，

方程的通解为g(x)=0.5x-0.25+ce^(-2x)

f(x)=0.5x+0.25-ce^(-2x)

∵f(0)=g(0)=0 ∴得:c=0.25

∴g(x)=0.5x-0.25+0.25e^(-2x)，

f(x)=0.5x+0.25-0.25e^(-2x)

希望可以帮到你

Answer 2

已知f(x)+g(x)=x, g'(x)=f(x)-g(x)，且f(0)=g(0)=0, 定义域为正实数；求f(x),g(x)的值；
解：∵f(x)+g(x)=x；∴f(x)=x-g(x)；
∴g'(x)=f(x)-g(x)=x-2g(x)；即有g'(x)+2g(x)=x...........①；
先求齐次方程 g'(x)+2g(x)=0的通解：分离变量得：d[g(x)]/g(x)=-2dx；
积分之得：ln[g(x)]=-2x+lnc；∴g(x)=ce^(-2x)；
将c换成x的函数u得：g(x)=ue^(-2x)........②；取导数得：g'(x)=u'e^(-2x)-2ue^(-2x).........③
将②③代入①式并化简得：u'e^(-2x)=x，即 u'=xe^(2x)；
∴u=∫xe^(2x)dx=(1/2)∫xd[e^(2x)]=(1/2)[xe^(2x)-∫e^(2x)dx]
=(1/2)[xe^(2x)-(1/2)e^(2x)+c₁]=[(1/2)x-(1/4)]e^(2x)+c; 其中c=(1/2)c₁;
将u之值代入②式即得：g(x)={[(1/2)x-(1/4)]e^(2x)+c}e^(-2x)=(1/2)x-(1/4)+ce^(-2x)；
代入初始条件g(0)=0得：c=1/4；
故g(x)=(1/2)x-(1/4)+(1/4)e^(-2x);
∴f(x)=x-g(x)=x-(1/2)x+(1/4)-(1/4)e^(-2x)=(1/2)x+(1/4)[1-e^(-2x)];

Answer 3

答：不好意思帮不了你

Answer 4

f(x)+g(x)=x =〉f(x)=x-g(x)代入

g'(x)=f(x)-g(x)得到
g'(x)=x-2g(x)
g'(x)+2g(x)=x
观察得到g(x)特解g*(x)=x/2-1/2
g'(x)+2g(x)=0 =〉g'(x)/g(x)=-2, ln(g(x)) =-2x +C
g(x)=ce^(-2x)
所以g(x)=ce^(-2x) +x/2 -1/2
代入g(0)=0的多c=1/2
g(x)=1/2 e^(-2x)+x/2 -1/2
f(x)=x-g(x)=-1/2 e^(-2x) +x/2 +1/2

Answer 5

f(x)+g(x)=x =〉f(x)=x-g(x)代入

g'(x)=f(x)-g(x)得到
g'(x)=x-2g(x)
g'(x)+2g(x)=x
观察得到g(x)特解g*(x)=x/2-1/2
g'(x)+2g(x)=0 =〉g'(x)/g(x)=-2, ln(g(x)) =-2x +C
g(x)=ce^(-2x)
所以g(x)=ce^(-2x) +x/2 -1/2
代入g(0)=0的多c=1/2
g(x)=1/2 e^(-2x)+x/2 -1/2
f(x)=x-g(x)=-1/2 e^(-2x) +x/2 +1/