Question

已知x-1≤0,y-1≤0,x+y-1≥0，求z=x^2+y^2+2x+根号2的最小值

Answer 1

此种题目容易得到假解，要特别注意和严谨！
解：
由已知，易得x≤1,y≤1，
又由 x+y-1≥0，
推导 1-y≤x≤1，得y≥0，
那么 0≤y≤1；
同理，有0≤x≤1；

对x+y-1≥0，有 x+y≥1
两边平方，得 x^2+y^2+2xy-1≥0
x^2+y^2≥1-2xy
因此 z=x^2+y^2+2x+√2
≥1-2xy+2x+√2
=2x(1-y)+1+√2
因为1-y≥0,x≥0,所以
z≥1+√2
综上，当x=0，y=1时，z有最小值1+√2

Answer 2

由已知得x≤1， y≤1, x+y≥1
-x+(-y)≤-1 带入一式，二式，得：
x≥-2,y≥-2
所以：-2≤x≤1,-2≤y≤1
z=x^2+y^2+2x+根号2
z=x^2+2x+1+y^2-1+根号2
z=(x+1)^2+y^2-1+根号2
当x=-1,y=0时取最小值，z=根号2-1

追问

答案是根号2+1