Question

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不...

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为_____．

Answer 1

解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a2-4b=0，即b=14a2
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b-c＜0，即x2+ax+14a2-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x2+ax+14a2-c=0的两根分别为x1=m，x2=m+8，
∴x1+x2=-ax1x2=14a2-c，可得|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=64，
即（-a）2-4（14a2-c）=64，解之即可得到c=16
故答案为：16