Question

求解答——高中数学——求解答

x平方+ax+1/x平方 +a/x +b +2=0,有实根，求a平方+b平方的min怎么求？

Answer 1

隐性线性规划型命题
x²+ax+1/x²+a/x+b+2=0
(x²+2+1/x²)+a(x+1/x)+b=0
(x+1/x)²+a(x+1/x)+b=0
令x+1/x=t 则 t≤-2或t≥2
原方程有实根
即 t²+at+b=0在 t≤-2或t≥2上有实根
根据根的存在性定理
g(t)= t²+at+b开口向上，在 t≤-2或t≥2上有零点
则g(2)≤0 或g(-2)≤0
即 4+2a+b)≤0或 4-2a+b)≤0
将上式中的a当横坐标 b当纵坐标
找出满足条件的区域即这两条相交直线外侧和下公共区域
在这区域中的点到原点最近点的距离的点是原点到这两直线的距离
所以2*4=h*√20
h=4/√5
min(a^2+b^2)=h^2=16/5

Answer 2

x²+ax+1/x²+a/x+b+2=0
(x²+2+1/x²)+a(x+1/x)+b=0
(x+1/x)²+a(x+1/x)+b=0
令x+1/x=t
t²+at+b=0必先有实根
即Δ1=a²-4b≥0
其次x²-tx+1=0有实根
即Δ2=t²-4≥0 t≤-2或t≥2
∵由t²+at+b=0可知t1t2=b
∴b≥4
又∵a²-4b≥0
∴a²≥4b
∴a²+b²≥b²+4b=b(b+4)≥4×8=32
最小值为32

追问

答案是16/5

追答

这是根据已知条件能确定的最精确的范围了，我也找不出什么条件
当然，a²+b>=0是恒成立的，所以，得到负数答案的童鞋应该不正确~！
你在看看有没有什么附加条件

追问

没有

Answer 3

整理方程，x^2+ax+(1/x)^2+(a/x)+b+2=0
化简得，(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b=0
依题意方程有实根，则根的判别式>=，即△=a^2-4b>=0
从而，a^2>=4b
那么a^2+b^2>=4b+b^2=(b+2)^2-4
因为(b+2)^2>=0，所以当它等于0的时候a^2+b^2有最小值
即a^2+b^2>=-4
就是说最小值是-4

追问

答案是16/5

Answer 4

原式可化为﹙x＋1／x﹚²＋a﹙x＋1／x﹚＋b=0
欲使x有解，令t=x＋1／x t≠0
故原式化为t²＋at＋b=0有不为零的实数解
即b≠0且a²≥4b
故a²＋b²≥b²＋4b
解出的答案是无穷小逼近于0！
你题目没出错吧？
顺便说一下上面解出-4的仁兄多想想两实数平方可能是负数？
而且也不能是0否则t无解
哦，等等，不好意思，我错了，t是勾函数
所以t≤-2或≥2故解得a²＋b²≥32

追问

答案是16/5

Answer 5

你的方程应该是，x^2+ax+(1/x)^2+(a/x)+b+2=0
化简得，(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b=0
依题意，f(x+1/x)=0,即△=a^2-4b=0
推出，a^2=4b,a^2+b^2=b^2+4b=(b+2)^2-4
明显，最小值-4

追问

答案是16/5

Answer 6

x^2+ax+1/x^2+a/x+b+2=0
(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b=0
a^2-4b>=0
a^2+b^2>=b^2+4b>=0
min(a^2+b^2)=0