Question

数学导数题，看看是不是答案错了。

g'(x)=3x^2+2bx-(2b+4)+1/x. x=a 为 g(x)的极小值点。求它的极大值《5/4
1<a《2
解

化简后:{(x-1)[3x^2+(2b+3)x-1]}/x。
然后， 答案令 (3x^2+(2b+3)x-1)=0. 把a代入。 求出了
b=(1-3a^2-3a)/2a.
然后，就说， 此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b.

我就这步看不懂。 为什么莫名其妙的g(x)极大值就变成g(1)了？
那个式子又不一定只有2个根。 3x^2+(2b+3)x-1 里面 可能有2个解。
1<a《2， 是条件。原函数g(x)=x^3+bx^2-(2b+4)x+lnx.b∈R
问题是，求证，它极大值小于等于5/4

Answer 1

答案没错，注意该导数的化简结果，导数化简后当导数为0时的根有3个，分别是1，a和-1/3a，由于a>1，可知三个根的顺序为-1/3a，1和a，而由于原函数为连续函数，则其极大值和极小值应该是交替分布的，那么既然g(a)为极小值，g(1)自然是极大值，而g(-1/3a)为另一个极小值。

Answer 2

令g'(x)=0后, 只能得到x的两个有效根.
这是因为,g'(x)={(x-1)[3x²+(2b+3)x-1]}/x=0
首先x≠0, 又x=a∈(1,2]是极小值点,显然a≠1.
因此得到3x²+(2b+3)x-1=0
这里显然有个根是x=a,而另外一个根由根与系数的关系也可以得到为x=-1/(3a)
考虑这个根x=-1/(3a), 因为a∈(1,2], 所以x=-1/(3a)<0,
原函数g(x)=x³+bx²-(2b+4)x+lnx的定义域为(0, +∞)
所以x=-1/(3a)是增根,应该舍去.
因此方程g'(x)={(x-1)[3x²+(2b+3)x-1]}/x=0
只有两个根x=1和x=a
a既然为极小值点, 显然x=1为极大值点.

Answer 3

解：1.先将x=a 代入到方程g'(x)=3x^2+2bx-(2b+4)+1/x中，解出a 的值（应该有两个），通过约束条件1<a《2，确定a的值。
2.在令(3x^2+(2b+3)x-1)=0. 把a代入。 求出了b=(1-3a^2-3a)/2a. 确定b 的值。
b值确定以后就知道了g'(x)=3x^2+2bx-(2b+4)+1/x 的具体表达式，再将a 的另外一个值代入该式即可求得他的极大值。
你这什么意思 《5/4 没看明白！
谢谢！希望对你有用！

Answer 4

0<x<1时（x-1)为负，3x^2+(2b+3)x-1为负，因为由求根公式可知，一个根是负数，一个根是a，且开口向上。

Answer 5

当X=1时，原函数g(x)有极大值。你列个表看看就行了。。