Question

如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时问为t秒．

（1）求NC、PN的长（用t的代数式表示）
（2）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。
（3）T为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分
（4）当t为何值时，三角形PMC为等腰三角形？

Answer 1

设点Q运动的时问为t
因为AD||BC，AD垂直于QN
所以QN垂直于BC
所以角∠ABC=90=∠MNC=∠MNB=∠AQN，
所以四边形ABNQ是矩形
所以AQ=BN
又因为△ABC与△MNC有同一个角∠ACB
所以△ABC与△MNC三个角相等，是相似三角形
所以MN/NC=AB/BC
所以MN=（AB/BC）×NC=（AB/BC）×（BC-BN）=（AB/BC）×（BC-AQ）=）=（AB/BC）×（BC-（AD-DQ））
又因为已知AD=AB=3，BC=4，Q沿线段DA向点A作每秒1个单位的匀速运动，Q运动的时问为t
所以MN=（3/4）×（4-（3-t））=（3/4）×（1+t）
所以S△MNC=MN×CN/2=（3/4）×（1+t）×（1+t）/2
因为当T=t时，射线QN恰好将△ABC的面积平分
所以S△MNC=1/2×S△ABC
（3/4）×（1+t）×（1+t）/2=1/2×（3×4/2）
（3/4）×（1+t）×（1+t）=6
（1+t）×（1+t）=8
1+t=±2√2
t=2√2-1或-2√2-1
又因为t>0
所以t=2√2-1
此时C△ABC=AB+BC+AC=3+4+√（3×3+4×4）=3+4+5=12
CM/CN=CA/CB
CM=CA/CB×CN=5/4×（4-t）
所以CM+CN=5/4×（4-t）+（4-t）=9/4×（4-t）=9/4×（4-（2√2-1））=（5-2√2）×9/4不等于
△ABC周长的一半即6
所以此时△ABC的周长没有被射线QN平分
所以t=2√2-1

Answer 2

设点Q运动的时问为t
因为AD||BC，AD垂直于QN
所以QN垂直于BC
所以角∠ABC=90=∠MNC=∠MNB=∠AQN，
所以四边形ABNQ是矩形
所以AQ=BN
又因为△ABC与△MNC有同一个角∠ACB
所以△ABC与△MNC三个角相等，是相似三角形
所以MN/NC=AB/BC
所以MN=（AB/BC）×NC=（AB/BC）×（BC-BN）=（AB/BC）×（BC-AQ）=）=（AB/BC）×（BC-（AD-DQ））
又因为已知AD=AB=3，BC=4，Q沿线段DA向点A作每秒1个单位的匀速运动，Q运动的时问为t
所以MN=（3/4）×（4-（3-t））=（3/4）×（1+t）
所以S△MNC=MN×CN/2=（3/4）×（1+t）×（1+t）/2
因为当T=t时，射线QN恰好将△ABC的面积平分
所以S△MNC=1/2×S△ABC
（3/4）×（1+t）×（1+t）/2=1/2×（3×4/2）
（3/4）×（1+t）×（1+t）=6
（1+t）×（1+t）=8
1+t=±2√2
t=2√2-1或-2√2-1
又因为t>0
所以t=2√2-1
此时C△ABC=AB+BC+AC=3+4+√（3×3+4×4）=3+4+5=12
CM/CN=CA/CB
CM=CA/CB×CN=5/4×（4-t）
所以CM+CN=5/4×（4-t）+（4-t）=9/4×（4-t）=9/4×（4-（2√2-1））=（5-2√2）×9/4不等于
△ABC周长的一半即6
所以此时△ABC的周长没有被射线QN平分
所以t=2√2-1