Question

如图所示，在正方形ABCD中，M为BC中点，N为AD上的一点，且AN=1/4AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明结论

Answer 1

M应在AB上，否则，△CMN是钝角三角形

∵ABCD是正方形

∴∠A=∠D=∠B=90°

AB=BC=CD=AD

∵AN=1/4AD    M为AB的中点

∴DN=AD-AN=AD-1/4AD=3/4AD

AM=BM=1/2AB=1/2AD

∴在Rt△AMN中

MN²=AM²+AN²=(1/2AD)²+(1/4AD)²=5/16AD²

∴在Rt△CDN中

CN²=CD²+DN²=AD²+(3/4AD)²=AD²+9/16AD²=25/16AD²

∴在Rt△BCM中

CM²=BM²+BC²=(1/2AD)²+AD²=5/4AD²

∴MN²+CM²=5/16AD²+5/4AD²=25/16AD²

∴MN²+CM²=CN²

∴△CMN是直角三角形

Answer 2

钝角三角形
设AN=x
则可以由勾股定理求出三边
CN=5x,MN=根号（17）x, CM=2X
由平方关系立即得是钝角三角形

Answer 3

M应在AB上，否则，△CMN是钝角三角形
∵ABCD是正方形
∴∠A=∠D=∠B=90°
AB=BC=CD=AD
∵AN=1/4AD
M为AB的中点
∴DN=AD-AN=AD-1/4AD=3/4AD
AM=BM=1/2AB=1/2AD
∴在Rt△AMN中
MN²=AM²+AN²=(1/2AD)²+(1/4AD)²=5/16AD²
∴在Rt△CDN中
CN²=CD²+DN²=AD²+(3/4AD)²=AD²+9/16AD²=25/16AD²
∴在Rt△BCM中
CM²=BM²+BC²=(1/2AD)²+AD²=5/4AD²
∴MN²+CM²=5/16AD²+5/4AD²=25/16AD²
∴MN²+CM²=CN²
∴△CMN是直角三角形