Question

如果方程X/(X-2) +(X-2)/X+(2X+A)/X(X-2)=0有实数根，求A的值及对应的原方程的根。。 希望说详细点！！

老师上课就是跳快了一步，就是“⊿＞时方程2x²-2x+4+A=0要有一个解，必须有一个根是增根X=0或X=2”我在想为什么必须是增根？

Answer 1

原方程在x不为0、2的情况下，经去分母、整理可得方程2x^2－2x＋4＋A＝0。
显然，要使方程2x^2－2x＋4＋A＝0有实数根，就需要它的判别式≧0，∴4－4×2（4＋A）≧0，
∴1－2（4＋A）≧0，∴1－8－2A≧0，∴－2A≧7，∴A≦－7/2。

但是，当A＝－4，或A＝－8时，方程2x^2－2x＋4＋A＝0就分别是：
2x^2－2x＋4－4＝0、2x^2－2x＋4－8＝0。

一、由2x^2－2x＋4－4＝0，得：x^2－x＝0，∴x（x－1）＝0。
　　∴此时方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根是x＝0、x＝1。
　　很明显，x＝0使原方程无意义，∴x＝0是增根。

二、由2x^2－2x＋4－8＝0，得：x^2－x－2＝0，∴（x＋1）（x－2）＝0。
　　∴此时方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根是x＝－1、x＝2。
　　很明显，x＝2使原方程无意义，∴x＝2是增根。

∴由求根公式得出方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根时，就需要将x＝0、x＝2这两种情况排除掉。
于是：
满足条件的A的取值范围是（－∞，－7/2］。
原方程的根是：
①当A＝－8时，x＝－1；　　②当A＝－4时，x＝1；
③当A∈（－∞，－8）∪（－8，－4）∪（－4，－7/2］时，
　x＝［－2＋√（－7－2A）］/2、x＝［－2－√（－7－2A）］/2。

追问

有些过程还是看不懂。
比如说当判别式＞0时，就有-28-8A＞0是吧？如果是等于，就可以简单地求出A和X。但现在是大于，只告诉了范围，只有A＜-7/2，这个时候再怎么办？为什么一定要用增根来带呢？我还不可以说X取5取6取7^然后根据2X²-2X+4+A=0把相应的A求出来？！
希望清楚一点，最好有计算说明，如果我听懂了我会给分的。

追答

原方程变换成2x^2－2x＋4＋A＝0必须建立在x≠0、x≠2的前提下。
∴当考虑方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根时，由判别式≧0，得：A≦－7/2。
但此时方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根可能包含x＝0、x＝2。
∴需要将x＝0、x＝2这两种情况排除掉。
　排除的方法是：分别令方程2x^2－2x＋4＋A＝0中的x＝0、x＝2。
　从而得4＋A＝0、或2×2^2－2×2＋4＋A＝0，∴A＝－4、或A＝－8。
当x＝－4时，方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根是x＝0、x＝1，［需要舍去x＝0］
当x＝－8时，方程2x^2－2x＋4＋A＝0的根是x＝－1、x＝2。［需要舍去x＝2］
∴当A＝－4、x＝－8时原方程有一根，当A≦－7/2且不为－4、－8时，原方程有两根。