如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD
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下面的人瞎J8证，求高手求解，没给出满意答案前，就永久有效！！
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1.过O做EF平行上下底交AD，BC分别E,F
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
2.又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
3,延长BA,CP交予M
由AM∥CD得CD/CP=MA/PM
易见PA是角平分线，得MA/PM=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD=BF/FC
BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线
∠BPF=∠CPF ， ∠APB=∠CPD
所以EPF=CPF+CPD=90
所以op是直角三角形 EPF的斜边中线
所以OP=1/2EF
同理OQ=1/2EF
故OP=OQ
倒数第5步、第四步没看懂，怎么出来直角三角形了，线也没连啊~~~
连接PF,
∠EPF=∠CPF+∠CPD=90 ,EO=FO
所以OP是直角三角形 EPF的斜边中线
慕野清流 给的第一个方法中，用到正弦定理得到CD/CP=AB/BP
这个结论不用正弦定理也可证明：
向上延长PA至A‘，使A'B=AB，则∠BA'A=∠BAA'=∠CDP
又∠A'PB=∠CPD,所以△A'BP相似于△DCP
所以CD/CP=A'B/BP=AB/BP
于是，不用正弦定理就可以证明了
你说三角形角平分线性质超出大纲，那么不用这性质也可以证明下面的结论：
BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线（三角形角平分线性质逆定理）
证：如图，延长PF至P'使P'C=PC，∠CPP'=∠CP'P
BF/FC=BP/CP=BP/CP'
所以△BFP相似于△CFP'
∠BPF=∠CP'F=∠CPF
即PF是BPC角平分线
作DE交BC延长线于E使得DE=DC。作CF交AD于F使得CF=CD。（图画的烂了点）
∵CF=CD
∴∠FDC=∠DFC；∠FDC=180°-∠PFC
又AB∥DC
∴∠FDC=180°-∠PAB
则∠PAB=∠PFC
而∠APB=∠CPD（已知）
所以三角形△PAB∽△PCF
∴AP/FP=AB/FC=AB/DC=AO/OC
即AP/FP=AO/OC
故PO∥FC
同理可证得QO∥DE（这里自己证，写起来很麻烦）
则PO/FC=AO/AC；QO/DE =BO/BD
又AO/AC=BO/BD
∴PO/FC=QO/DE
而FC=DC=DE
故PO=QO
（*）
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD=BF/FC
BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线（三角形角平分线性质逆定理）
BPF=CPF ∠APB=∠CPD
所以EPF=CPF+CPD=90 EPF直角三角形 OP中线
所以OP=1/2EF
同理OQ=1/2EF
故OP=OQ得证
法2
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD
延长CP到E使PE=PB 延长PQ到F使QA=QF.连接AE,BF
BP/CP=EP/CP=AB/CD=AO/OC 故OP//AE
所以OP/AE=CO/CA=CO/(CO+AO)=CD/(CD+AB)
OP=AE*CD/(CD+AB)
易证APE全等APB AE=AB即OP=AB*CD/(CD+AB)
同理OQ=AB*CD/(CD+AB)
所以OP=OQ
哥们，初中几何范围内，运用正、余弦定理证明，是被扣分的！能否运用旋转证明于一下呢，此题永久有效！！！！！！
那就用面积法
1/2AB*APsinPAB=SABP=1/2AP*PB*sinAPB
1/2PD*PC*sinADC=SDPC=1/2PD*DCsinDPC这面积公式很容易得出
APsinPAB/PB*sinAPB =1=PC*sinADC/DCsinDPC
sinPAB=sinPDC（这个还是高中的sina=sin（180-a））
sinAPB=sinDPC
所以BP/CP=AB/CD
这个题应该属于奥数集训或者联赛2试，不会正、余弦定理证明根本很难做出来，其实初中做奥数就应该会正、余弦定理证明，包括推导，因为即使不让直接用，自己推导一下再用谁也不会扣你的分，我初中还用过蝴蝶定理呢
这个题我见过旋转的法子还是得用正弦定理，就冲我避开正弦定理出现了sinPAB=sinPDC这个知识初中就学不到吧
详解如下：（把字母位置调换即可）
我日了，你是怎么找到这道题的？？？？这都能翻出来，太不可思议了！
如果没问题的话就请采纳，为找这道题我可也是花了不少时间和精力啊！
