如何证明根号二是无理数
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用反证法，假设根号2是有理数
则令根号2=q/p，其中p、q为互质的正整数
两边平方，2=q^2/p^2
q^2=2p^2，所以q^2是偶数，即q是偶数
所以令q=2k，其中k是正整数
4k^2=2p^2
p^2=2k^2，所以p^2是偶数，即p是偶数
因为p、q都是偶数，所以有公因数2
这与p、q互质矛盾
所以根号2是无理数
则令根号2=q/p，其中p、q为互质的正整数
两边平方，2=q^2/p^2
q^2=2p^2，所以q^2是偶数，即q是偶数
所以令q=2k，其中k是正整数
4k^2=2p^2
p^2=2k^2，所以p^2是偶数，即p是偶数
因为p、q都是偶数，所以有公因数2
这与p、q互质矛盾
所以根号2是无理数
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假设根号2是有理数
有理数可以写成一个最简分数
及两个互质的整数相除的形式
即根号2=p/q
pq互质
两边平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶数
则p是偶数
令p=2m
则4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶数
这和pq互质矛盾
所以假设错误
所以根号2是无理数
有理数可以写成一个最简分数
及两个互质的整数相除的形式
即根号2=p/q
pq互质
两边平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶数
则p是偶数
令p=2m
则4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶数
这和pq互质矛盾
所以假设错误
所以根号2是无理数
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20190821 数学04
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