f(x)∈D[a,b]表示什么?
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f(x)在区间[a, b]上一阶可导
根据证明的问题来看,与一阶导数和函数相关联的等式,需要用拉格朗日中值定理.但我们需要构造一个函数,又等式的左边
bf(b)-af(a)
b-a
,容易看出这个函数是xf(x).
/>构造辅助函数:F(x)=xf(x),
则:F(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,
从而F(x)满足拉格朗日中值定理,
则:在(a,b)内至少存在一点ξ,
使得:
F(b)-F(a)
b-a=F′(ξ),
而:F′(x)=f(x)+xf′(x),
∴
bf(b)-af(a)
b-a=f(ξ)+ξf′(ξ),
证毕.
点评:
本题考点: A:拉格朗日中值定理 B:罗尔中值定理
考点点评: 一般应用拉格朗日中值定理,需要根据题目条件构造一个函数,有时还需要确定应用的区间.
根据证明的问题来看,与一阶导数和函数相关联的等式,需要用拉格朗日中值定理.但我们需要构造一个函数,又等式的左边
bf(b)-af(a)
b-a
,容易看出这个函数是xf(x).
/>构造辅助函数:F(x)=xf(x),
则:F(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,
从而F(x)满足拉格朗日中值定理,
则:在(a,b)内至少存在一点ξ,
使得:
F(b)-F(a)
b-a=F′(ξ),
而:F′(x)=f(x)+xf′(x),
∴
bf(b)-af(a)
b-a=f(ξ)+ξf′(ξ),
证毕.
点评:
本题考点: A:拉格朗日中值定理 B:罗尔中值定理
考点点评: 一般应用拉格朗日中值定理,需要根据题目条件构造一个函数,有时还需要确定应用的区间.
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