Question

一道高一抽象函数题，请教大家。

快要考试了，今天碰到了一题函数题问了好几个同学都不会，希望大家能帮忙。

题目：设函数f(x)的定义域为R,且f(x)≠0，当x>0时，f(x)>1，对任意x,y属于R，有f(x+y)=f(x)·f(y)
(1)求证：f(x)>0
(2)解不等式：f(x)≤1/f(x+1)

在线等，谢谢大家了~

Answer 1

(1)
1.当x>0时，f(x)>1>0
2.令x=0,y=1，则f（0+1）=f（0）*f(1)
即f(1)=f(0)*f(1),所以f（0）=1
3.当x<0时,-x>0 ,f(-x)>1
f(x-x)=f(o)=f(x).f(-x)=1所以f(x)>0
综上：f(x)>0

(2)令x>y>0所以x-y>0,f(x-y)>1=f(0)
所以f(x)为增函数
f(x)≤1/f(x+1)
可化为f(x)*f(x+1)=f(2x+1)≤1=f(0)
即2x+1≤0所以x≤-1/2
可以化抽象为具体·这个函数可以看成是指数函数

Answer 2

1:令X=0,Y=1，则f（0+1）=f（0）*f(1)
即f(1)=f(0)*f(1),所以f（0）=1,
再令x=a,y=-a,则f(a-a)=f（0）=f(a)*f(-a)=1
即不管a为何值，f（a）都大于0，只是大于1小于1的问题

Answer 3

(1)
f(x)=(x/2+x/2)
=f(x/2)·f(x/2)
=f(x/2)^2≥0
因为题目f(x)≠0 所以 f(x)=f(x/2)^2>0