y=|1/x|函数图像绕y轴旋转后形成的空间在a到b区间的体积如何计算? 20

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sjh5551
高粉答主

2022-02-20 · 醉心答题,欢迎关注
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题目表述不明确。应是以下三种情况之一。

(1) 是曲边梯形 PQBA 绕 y 轴旋转体积;  (2) 是曲边梯形 PQDC 绕 y 轴旋转体积; (3) 是曲边三角形 PQS 绕 y 轴旋转体积。

若是情况(1), 则为:

当  a < b  ≤ 0 时 , V1 = ∫<-b, -a> 2πx(1/x)dx = 2π(b-a)

解法原理如下,又称“柱壳法”:

若是情况(2), 则为:

V2 = π∫<-1/a, -1/b>x^2dy = π∫<-1/a, -1/b>dy/y^2

= π[-1/y]<-1/a, -1/b> = π(b-a)

若是情况(3),用“柱壳法” 则为:

V3 = ∫<-b, -a> 2πx(1/x+1/a)dx = π∫<-b, -a> (2+2x/a)dx

= π[2x+x^2/a]<-b, -a> = π(2b-a-b^2/a);

用“对 y 积分”法 则为:

V3 = π∫<-1/a, -1/b>x^2dy - πb^2( -1/b+1/a)

= π(b-a) + π(b-b^2/a) = π(2b-a-b^2/a)

arongustc
科技发烧友

2022-02-19 · 智能家居/数码/手机/智能家电产品都懂点
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理论上这需要你计算出这个旋转体被x=a和x=b切割下来的体在x,z轴的投影趋于,然后用二重积分来计算。但是这样复制的二重积分恐怕不一定能求出来
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东方欲晓09
2022-02-19 · TA获得超过8625个赞
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图中a, b 的位置已经给定,所以无需讨论。上面给出了用 shell method (与旋转轴垂直的方向积分)的做法,这里我试着用 disk method (与旋转轴平等的方向积分) 做一下:
volume = ∫[-1/a, -1/b] π x^2 dy

= ∫[-1/a, -1/b] π/y^2 dy
= -π/y|[-1/a, -1/b]
= π(b-a)
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