设a与b都是n阶方阵,且a与b相似,证明a与b的特征多项式相同
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即证明矩阵A与矩阵B有相同的特征值
设矩阵A有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量x
则Ax=λx
因为矩阵A与矩阵B相似
所以存在n阶可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B
在Ax=λx两边同时左乘P^(-1)
P(-1)Ax=P(-1)λx=λ[P(-1)x]
P(-1)Ax=P(-1)APP^(-1)x=B[P^(-1)x]=λ[P(-1)x]
所以矩阵B有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量P(-1)x
特征值相同,特征多项式当然就相同了
设矩阵A有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量x
则Ax=λx
因为矩阵A与矩阵B相似
所以存在n阶可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B
在Ax=λx两边同时左乘P^(-1)
P(-1)Ax=P(-1)λx=λ[P(-1)x]
P(-1)Ax=P(-1)APP^(-1)x=B[P^(-1)x]=λ[P(-1)x]
所以矩阵B有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量P(-1)x
特征值相同,特征多项式当然就相同了
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