Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．

在“△ABD全等△AEC”的情况下，若CE的延长线过AB的中点F，MN与BC的交点为G，连接FG，求证：∠AFE=∠BFG

Answer 1

过B作BH∥DA交CA的延长线于H。
∵AB⊥AC、AE⊥CF，
∴∠BAD＝∠ACF［同是∠AFC的余角］、∠AFE＝∠CAD［同是∠ACF的余角］。
∵BH∥DA，∴∠ABH＝∠BAD，∴∠ABH＝∠ACF，又AB＝AC、∠BAH＝∠FAC＝90°，
∴△ABH≌△AFC，∴AH＝AF，而AF＝BF，∴AH＝BF。

∵BH∥GA，∴AH/AC＝BG/CG，∴BF/AC＝BG/CG，显然有：∠DBF＝∠DCA＝45°，
∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG＝∠CAD，而∠AFE＝∠CAD，∴∠AFE＝∠BFG。

Answer 2

过B作BH∥DA交CA的延长线于H
∵AB⊥AC、AE⊥CF，
∴∠BAD＝∠ACF、∠AFE＝∠CAD
∵BH∥DA，∴∠ABH＝∠BAD，∴∠ABH＝∠ACF，又AB＝AC、∠BAH＝∠FAC＝90°
∴△ABH≌△AFC，∴AH＝AF，而AF＝BF，∴AH＝BF。

∵BH∥GA，
∴AH/AC＝BG/CG，
∴BF/AC＝BG/CG，
∴∠DBF＝∠DCA＝45°
∴△BGF∽△CGA，
∴∠BFG＝∠CAD，而∠AFE＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠BFG。

Answer 3

解：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，
∠ADB=∠CEA
∠DAB=∠ECA
AB=AC
∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE；
（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，
则BD，CE与MN垂直，
∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，
∴BD与AE边仍相等；
（3）∵△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，AD=EC，
∴DE=BD+EC或DE=CE-BD或DE=BD-CE．