Question

用定积分求和式极限的一个问题

见图片

Answer 1

无法理解楼主思路，特别是你第二个问题。 我尝试解释一下看楼主能否理解。

把那条极限求和的式子看成无数个矩形求和
每个矩形的长都是 π/(2n) 高则是2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]
当n趋于正无穷的时候，这些矩形面积之和也将趋近于 cosx 在[0,π/2]之下的面积。

和楼主给的定积分定义不太相同的是， 这里第i 个矩形的高取的值是 2cosx 在第i 个区间[(i-1)π/(2n), iπ/(2n)] 的中点的值， 即2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]

使用定积分定义的时候，小区间的长度也就是矩形的长究竟是 π/(2n)还是 π/n 都没有问题，关键是矩形的高要对应得上。
这道题中函数自变量x = iπ/(2n) - π/(4n) ，i每增加1，x增加 π/(2n)。所以很自然地把矩形的长取为π/(2n)。
若非要像楼主所想的把区间长度取为π/n ，则第i个矩形的高取的值，是cos(x/2)在第i个区间 [ (i-1)π/n, iπ/n] 的中点的值 即 cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]。 不过这样的话积分的区间就变成[0,π]了。

不管怎么理解那条求和的式子 结果都是一样的。

追问

看图片

追答

你的式子不完整，最后一项应该是cos(pi/2)。
不过理解你的意思了。。。 还是不对。。。

应该看成 2cosx 在[0,pi/2]的积分，而且取得还是（第i个）区间[(i-1)pi/(2n), ipi/(2n)]的右端点。。。

Answer 2

题有问题吧