Y=X^X (X的X次方)最小值是多少?要过程
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该函数无最小值。
1.当x＞0时，求得其导数为y'=xˣln(x+1)，故函数y=xˣ在(0,1/e]上单减，在(1/e,+∞)单增，极小值为(1/e)^(1/e)
2.当x＜0时，由于负数开偶次方根在实数范围内无意义，故定义域x只能取负整数和分母为奇数的既约分数。在无理数和分母为偶数的既约分数处间断，此时函数为无数个有理点，可根据函数对称性求函数y=u^(1/u)导数的方法，作出函数y=xˣ的图像，在x负半轴上下振荡，x→-∞时，上下两段图像都无限靠近x轴，即y值趋于0，x趋于-1/e时，根据图像极大值趋近于e^(1/e)≈1.44467，极小值趋近于-e^(1/e)≈-1.44467，由于x取不到无理数-1/e，故函数y=xˣ取不到最小值-e^(1/e)，只能无限逼近。
结合上面讨论，故函数y=xˣ无最小值，其最小值无限趋近于-e^(1/e)，但取不到。其定义域x为(0,+∞)和负整数和分母为奇的负既约分数，只能证明函数值y>-e^(1/e)，当x取越逼近-1/e的分子分母都为奇数的既约分数时，其函数值就越逼近于-e^(1/e)，但永远取不到。
当然函数y=xˣ(x>0)时，有最小值(1/e)^(1/e)
我曾经对这函数有个严格证明
1.当x＞0时，求得其导数为y'=xˣln(x+1)，故函数y=xˣ在(0,1/e]上单减，在(1/e,+∞)单增，极小值为(1/e)^(1/e)
2.当x＜0时，由于负数开偶次方根在实数范围内无意义，故定义域x只能取负整数和分母为奇数的既约分数。在无理数和分母为偶数的既约分数处间断，此时函数为无数个有理点，可根据函数对称性求函数y=u^(1/u)导数的方法，作出函数y=xˣ的图像，在x负半轴上下振荡，x→-∞时，上下两段图像都无限靠近x轴，即y值趋于0，x趋于-1/e时，根据图像极大值趋近于e^(1/e)≈1.44467，极小值趋近于-e^(1/e)≈-1.44467，由于x取不到无理数-1/e，故函数y=xˣ取不到最小值-e^(1/e)，只能无限逼近。
结合上面讨论，故函数y=xˣ无最小值，其最小值无限趋近于-e^(1/e)，但取不到。其定义域x为(0,+∞)和负整数和分母为奇的负既约分数，只能证明函数值y>-e^(1/e)，当x取越逼近-1/e的分子分母都为奇数的既约分数时，其函数值就越逼近于-e^(1/e)，但永远取不到。
当然函数y=xˣ(x>0)时，有最小值(1/e)^(1/e)
我曾经对这函数有个严格证明
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