Question

计算∫∫∫(x^2+y^2)dv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z与平面z=2,z=8所围成的闭区域

Answer 1

结果为：16π/3

解题过程如下：

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫<r^2/2,2>r^2dz (作柱面坐标变换)

=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr

=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr

=2π(2^4/2-2^6/12)

=2π(8/3)

=16π/3

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 2

这种题目的基本思路是运用Fubini定理，必要时用极坐标换元。

追问

Fubini定理是什么

追答

fubini定理即富比尼定理，参考资料是百度百科。
这个定理在微积分的书里一般都有，百科中的“σ-有限测度空间”可以换成R^3空间，就是通常的“三维空间”。A 和 B可以看成R或R^2空间。
上面的图中，第二个等号用到了这个定理。

参考资料： http://baike.baidu.com/view/1735107.htm