Question

高一数学一道关于三角函数的题目

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π/3。
（1）若△ABC的面积等于√3，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积。

Answer 1

令t=根号3
S=t absinC=2S=2t ab=4
cc=aa+bb-2abcosC=aa+bb-ab=4 (a+b)^2=4+3ab=16 (a-b)^2=4-ab=0 a=b=2
令P=圆周率 A+B=P-C=2P/3 B-A=2P/3-2A
t/2=sinC=2sin2A-sin(B-A)=2sin2A-sin(2P/3-2A)=2sin2A-[tcos2A+sin2A]/2
t/2=3sin2A/2-tcos2A/2 t=3sin2A-tcos2A 1=tsin2A-cos2A=2sin(2A-30)
sin(2A-30)=1/2 2A-30=30, 150 A=30, 90
S=t/2

Answer 2

解：（1）由已知，ab=4，a^2+b^2-ab=4，解之得:a=b=2。
（2）由已知，sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，所以，sinB=2sinA或A＝90°
当A＝90°时，B＝30°，b=2√3/3，△ABC的面积S＝bc/2＝2√3/3；
当sinB=2sinA时，b=2a，由4＝b^2+a^2-ab得，b=2√3/3，B＝90°，
△ABC的面积S＝ac/2＝2√3/3。

Answer 3

解：(1)
∵c＝2，C＝π/3
由余弦定理得：
c^2＝a^2＋b^2－2abcosC
∴4＝a^2＋b^2－ab
又S△ABC＝√3
∴1/2absinC＝√3
=>√3/4*ab＝√3
=>ab＝4
联立方程组：
{a^2＋b^2－ab＝4
{ab＝4
解得：a＝b＝2

(2)
∵sinC＋sin(B－A)＝sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A＝4sinAcosA
即sinBcosA＝2sinAcosA
①当cosA＝0时，A＝π/2，B＝π/6，a＝(4√3)/3，b＝(2√3)/3，
∴S△ABC＝1/2absinC＝(2√3)/3
②当cosA≠0时，得sinB＝2sinA
由正弦定理得：
b＝2a
联立方程组：
{a^2＋b^2－ab＝4
{b＝2a
解得：a＝(2√3)/3，b＝(4√3)/3
∴S△ABC＝1/2absinC＝(2√3)/3
综上所述：
S△ABC＝(2√3)/3