Question

椭圆的中心原点O，它的短轴长2倍根号2，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线L与x轴相交于A且∣OF∣=2∣FA∣

过点A的直线m与椭圆相交于PQ两点（1）求椭圆的标准方程
（2）求直线m的斜率取值范围(3)若OP（两个字母上面都有箭头）乘以OQ（两个字母上面都有箭头）=0求直线PQ的方程
急求详细过程、谢谢~

Answer 1

（1） b^2=(2√2)^2=8 准线x=a^2/c FA=a^2/c--c= c/2 a^2=3c^2/2=b^2+c^2=8+c^2
c^2=16 a^2=24 所以椭圆的标准方程是： x^2/24+y^2/8=1
(2 ) A(6,0) m方程 y/(x--6)=k y=kx--6k x^2/3+(kx)^2--12k^2 x+36k^2--8=0
(k^2+1/3) x^2--12k^2 x+(36k^2--8)=0 判别式 144k^4--4(k^2+1/3)(36k^2--8)=0
4k^2--8/3=0 k=-+ √6/3 所以直线m的斜率取值范围： --√6/3<k<+√6/3
(3)设OP（x1,y1）OQ(x2,y2)
因为OP（两个字母上面都有箭头）乘以OQ（两个字母上面都有箭头）=0 即OP垂直OQ
所以x1x2+y1y2=0 x1x2=(36k^2--8)/(k^2--8/3)
y1y2=(kx1--6k)(kx2---6k)=k^2x1x2--6k^2(x1+x2)+36k^2
x1x2+y1y2=(k^2+1)x1x2--6k^2(x1+x2)+36k^2=0
(k^2+1)(36k^2--8)/(k^2+1/3) --6k^2(12k^2)/(k^2+1/3)+36k^2=0
36k^4--8k^2+36K^2--8--72k^4+36K^4+12k^2=0 40k^2--8=0 k=+- √5/5
直线方程： x+√5y--6=0 and x--√5y--6=0

Answer 2

b^2=2 a^2=18\5所以方程为5x^2\18 y^2\2=1