Question

近世代数题证明Q（根号2 ）={a+b根号2| a,b是有理数}是域

Answer 1

显然加法、减法和乘法封闭，只需证明除法封闭即可 (a+b根号2）/(c+d根号2）=(a+b根号2）（c-d根号2）/（c+d根号2）（c-d根号2） =[ac-2bd+(bc-ad)根号2]/（c^2-2d^2)属于Q（根号2） 由于c,d为有理数且不全为零，所以一定有c^2-2d^2≠0，否则c/d=正负根号2，矛盾。
Q(根号2）是一个加法群，1是零元，a+b根号2的负元是-a-b根号2.
Q（根号2）是一个乘法群，单位元为1，任一非零元a+b根号2的逆是(a-b根号)/(a^2-2b^2)
因为Q(根号2）是实数环R的子环，R乘法对加法有分配率，所以Q（根号2）的乘法对加法也有分配率。