Question

数学题：令Q(i)={a+bi|a,b ∈Q},其中Q为有理数域。证明：Q(i)为一个数域？

Answer 1

设a1,b1,a2,b2∈Q,则
a1+b1i+a2+b2i=a1+a2+(b1+b2)i,
(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+a2b1)i,
a1+a2,b1+b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1∈Q,
所以a1+b1i+a2+b2i，(a1+b1i)(a2+b2i)∈Q(I),
显然0+0i,1+0i分别是Q(I)的零元、单位元。
-a-bi是a+bi的负元，
1/(a+bi)=a/(a^2+b^2)-bi/(a^2+b^2)是a+bi的逆元，它们都在Q(I)内，
Q(I)中的加法、乘法显然都满足结合律、交换律。
所以Q(i)是一个数域。