Question

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如图，二次函数的抛物线解析式的顶点坐标C，与X轴的交于A（1，0），B（-3,0）两点，与Y轴交与点D（0,3）。
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图，过点A的直线与抛物线交于点E，交Y轴于点F，其中点E的横坐标为-2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则X轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图，连接AC交Y轴于M，在X轴上是否有存在点P，使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为：y=a(x-1)(x+3)过点D(0,3)
∴a=-1
解析式为：y=-x＾2-2x+3
(2) x=-2时，　y=3，即E(-2,3)
∴直线AE：y=-x+1
∴F（0，1）
F关于x轴对称点为F`(0,-1)
∴FH=F`H
∵点G为直线PQ上
DG=EG
D、G、H、F四点所围成的四边形周长=DG+GH+HF+DF=EG+GH+F`H+DF
当周长最小时，DF为定值，即EG+GH+F`H最小，连EF`,交PQ于点G,交x轴于点H
直线EH：y=-2x-1
G(-1,1),H(-1/2,0)，最小值为2+2倍根号5
（3）直线AC:y=-2x+2,
M(0,2)
△AOM为直角三角形，且两条直角边的比为1:2
过M作MP⊥AM交x轴于点p(-4,0)即为所求的点

Answer 2

ABD三点带入解析式y=ax²+bx+c
解出来y=-x²-2x+3
第二问想不明白
第三问 AC解析式 y=-2x+2 M坐标（0，2）若相似 则有∠PMC=90°或者∠PCM=90° 则有y1=1/2 x+2 y2=1/2 x+9/2 （与AC垂直）
则y1与x轴交点为（-4，0） y2与x轴交点为（-9，0）
验证一下P1(-4,0)满足相似 P2（-9，0）不满足相似
所以存在P（-4，0）

楼上第二问很到位 第三问他漏个情况虽然最后是不存在点但是需要考虑