Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+(1-x)/(1+x),x>=0,其中a>0,(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)的最小值为1求a的取值范围

Answer 1

f′(x)=[a/(a+1)]-[2/(1+x)²]
=(ax²+a-2)/(ax+1)(1+x)²
∵x≥0
a>0
∴ax+1>0
①当a≥2时
在区间（0，+∞）上f′（x）>0
②当0<a<2时，由f′（x）>0解得x>√[(2-a)/a]
由f′(x)<0解得x<√[(2-a)/a]
∴f（x）的单调减区间为(0,√[(2-a)/a])，单调增区间为(√[(2-a)/a],+∞)

当a≥2时，由上述②中知：f（x）的最小值为f（0）=1
当0<a<2时，由上述②知，f(x)在x=√[(2-a)/a]处取得最小值f(√[(2-a)/a])<f(1)=1
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞)