Question

正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,M为AD的中点，P为AD上的一个动点，过点P做 PE垂直AC，PF⊥BD，连接ME、MF

正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,M为AD的中点，P为AD上的一个动点，过点P做 PE垂直AC，PF⊥BD，连接ME、MF.
(1) 探究MF和ME的数量关系
(2) 若ABCD为矩形，ME和MF的关系是否仍然成立，如果成立给予证明，如果不成立，请说明理由。

第一问已经证出，求助第二问！

Answer 1

证明：连OM、EF,

因为∠OEP=∠OFP=90°

∴OFEP四点共圆

因为∠OEP+∠OMP=180°

∴OEPM四点共圆

∴OFEM四点共圆

∴∠MFE=∠MOE

∠MEF=∠MOD(圆内接四边形外角等于内对角)

因为矩形ABCD，

∴OA=OB(矩形的对角线互相平分且相等)

AM=MD ∴∠MOA=∠MOD

则∠MOE=∠MOD

∴∠MEF=∠MFE ∴ME=MF

追问

不用共圆能解决吗？这是个初二的题，还没学圆呢？初二学了全等、中位线、四边形等！

追答

那可以用可能有点烦

作DG⊥AC于G,连MG,

因为AM=MD

∴MG=MA=MD(斜边的中线等于斜边的一半)

∴∠MGD=∠MDG

因为∠DCG=∠MDG(同为∠CDG的余角)

OC=OD    ∴∠OCD=∠ODC   ∴

∴∠ODM=∠CDG  ∴∠ODC=∠MDG=∠MGD

因为∠EGM=90°-∠MGD   ∠FDM=90°-∠ODC

∴∠EGM=∠FDM

作AH⊥BD于H,由△DGC≅△AHB(AAS)可知BH=CG,

延长CD到Q使DQ=DC,连AQ,延长FP交AQ于R,

因为BA∥=CD=∥DQ∴四边形ABDQ是平行四边形

∴BD∥AQ∴四边形ARFH是矩形∴HF=AR 

则有∠PAE=∠PAR,(等腰三角形三线合一)

AP=AP∴RT△PAE≅RT△PAR(AAS)  ∴AE=AR

∴AE=FH   ∴BH+HF=AE+CG

因为AC=BD(矩形对角线相等) 

EG=FD(等量减等量差相等) 

∴△EMG≅△FMD(SAS)

∴ME=MF