Question

如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证AD=AE； （2）连接OA，BC，试判断直线OA，

如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
用七年级下学期人教版的知识做，不用等腰三角形的知识做

Answer 1

（1）证明：在三角形ABE中∠B=180°-∠AEB-∠A=180°-90°-∠A
在三角形ACD中∠C=180°-∠ADC-∠A=180°-90°-∠A
所以∠B=∠C
又因为∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC
所以三角形ABE与三角形ACD全等
故AD=AE
（2）连接OA，BC,并延长OA交BC于F
可得三角形AOD与三角形AOE全等
所以∠BAF=∠CAF
故三角形BAF与三角形CAF全等
可得BF=CF
因为AB=AC
所以AF垂直于BC

Answer 2

（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AC=AB，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE．

（2）答：直线OA垂直平分BC．
证明：连接BC，AO并延长交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∵OA=OA，AD=AE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴∠DAO=∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC且平分BC．

Answer 3

（1）证明：在三角形ABE中∠B=180°-∠AEB-∠A=180°-90°-∠A
在三角形ACD中∠C=180°-∠ADC-∠A=180°-90°-∠A
所以∠B=∠C
又因为∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC
所以三角形ABE与三角形ACD全等
故AD=AE
（2）连接OA，BC,并延长OA交BC于F
可得三角形AOD与三角形AOE全等
所以∠BAF=∠CAF
故三角形BAF与三角形CAF全等
可得BF=CF
因为AB=AC
所以AF垂直于BC

Answer 4

(1)利用“角角边”证明三角形ADC与三角形AEB全等；
(2)直线AO垂直平分线段BC，设垂足为F
由(1)得角ACD=角ABE，且AD=AE，AO=AO，由直角三角形全等的HL定理可得三角形ADO与三角形AEO全等。故角DAO=角EAO，故角BOF=角COF，且OD=OE，故OB=OC，OF=OF
故三角形OBF与三角形OCF全等，则BF=CF，且角OFB=角OFC=90度