Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).

(1)求实数f(-1),f(2.5)的值。
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性。

第一问没问题，第二问没思路

Answer 1

(1)f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k*1*(1-2)=-k
f(2.5)=(1/k)f(2.5-2)=(1/k)f(0.5)=(1/k)*0.5*(0.5-2)=-3/(4k)
(2)
1)若-4<=x<=-2，则0<=x+4<=2，f(x+4)=(x+4)(x+2)。
f(x)=kf(x+2)=k^2f(x+4)=k^2(x+4)(x+2)
2)若-2<=x<=0，则0<=x+2<=2，f(x+2)=x(x+2)。
f(x)=kf(x+2)=kx(x+2)
3)若2<=x<=4，则0<=x-2<=2，f(x-2)=(x-2)(x-4)。
f(x)=(1/k)f(x-2)=(1/k)(x-2)(x-4)
所以，f(x)在[-3,3]上的表达式为：
f(x)={k^2(x+4)(x+2)(-3<=x<=-2)、kx(x+2)(-2<=x<=0)、x(x-2)(0<=x<=2)、(1/k)(x-2)(x-4)(2<=x<=3)
f(x)在(-3,-1)上递增、在(-1,1)递减、在(1,3)递增。

追问

主要考虑思路能说一下吗，拿到这个题如何思考？

追答

要利用关系式f(x)=kf(x+2)，把各段上的解析式写出来。
因为在关系式f(x)=kf(x+2)，说的是x与x+2的函数值的关系。
所以，要以区间长度为2来进行分段。
分出的区间为：[-4,-2]、[-2,0]、[0,2]、[2,4]。

Answer 2

1. f(-1)=kf(1)=k*1*(1-2)=-k
f(2.5)=f(0.5)/k=0.5*(0.5-2)/k=-3/4k
2.当-3≤x≤-2
1≤x+4≤2
f(x)=kf(x+2)=k^2f(x+4)=k^2(x+4)(x+2)
当-2≤x≤0
0≤x+2≤2
f(x)=kf(x+2)=kx(x+2)
当0≤x≤2
f(x)=x(x-2)
当2≤x≤3
0≤x-2≤1
f(x)=f(x-2)/k=(x-2)(x-4)/k
然后组合一下写出表达式
单调性
当-3≤x≤-2
f(x)=k^2(x+4)(x+2)=k^2[(x+3)^2-1]
在[-3,-2]上单调递增
当-2≤x≤0
f(x)=kx(x+2)=k[(x+1)^2-1]
因为k<0
在[-2,-1]递增，在[-1,0]递减
当0≤x≤2
f(x)=x(x-2)=(x-1)^2-1
在[0,1]递减，[1,2]递增，
当2≤x≤3
f(x)=(x-2)(x-4)/k=[(x-3)^2-1]/k
在[2,3]上单调递增
因此f(x)在[-3,-1]和[1,3]上单调递增，在[-1,1]单调递减