Question

计算 ∫ ∟(e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy,其中L是以(0,0)为起点,(2,1)为终点的任意曲线

http://zhidao.baidu.com/question/436562468.html
里已经答过了,不知道 ∫ L (e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy=∫[0→1] (1+x)dx + ∫[0→1] (e^y-2y)dy
怎么得来的,(1+x)dx和(e^y-2y)dy 怎么来的?

Answer 1

解法如下：

这题目不同 上面题目终点是(1,1)。

(0,0)到(2,1)。

可以看作(0,0)到(2,0)到(2,1)。

(0,0)到(2,0) y=0 x∈[0,2]。

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

Answer 2

计算∫L (e^y + x)dx + (xe^y - 2y)dy，L：y = sin(πx/2)，(0，0)→(1，1)
P = e^y + x，dP/dy = e^y
Q = xe^y - 2y，dQ/dx = e^y
因为dP/dy = dQ/dx，由Green公式知道，积分结果与路径无关，则可以选择任意路径了。
最容易的就是折线路径。
L1：y = 0，dy = 0，(0，0)→(1，0)
∫L1 (e^y + x)dx + (xe^y - 2y)dy
= ∫(0→1) [(e^0 + x) + (xe^0 - 0)(0)] dx
= ∫(0→1) (1 + x) dx，这是你所问的结果
= 3/2
L2：x = 1，dx = 0，(1，0)→(1，1)
∫L2 (e^y + x)dx + (xe^y - 2y)dy
= ∫(0→1) [(e^y + 1)(0) + (e^y - 2y)] dy
= ∫(0→1) (e^y - 2y) dy，这是你所问的结果
= e - 2
所以积分结果是∫L1 + ∫L2 = e - 1/2

Σ(k=0→∞) [(- 1)^k * x^(2k + 1)]/(2k + 1)! = sinx，答案是A
这个和式就是sinx的泰勒展开式了。

Answer 3

这题目不同 上面题目终点是(1,1)

(0,0)到(2,1)
可以看作(0,0)到(2,0)到(2,1)

(0,0)到(2,0) y=0 x∈[0,2]
代进式子
∫L (e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy=∫[0→2] (1+x)dx

(2,0)到(2,1) x=2 y∈[0,1]
代进式子
∫L (e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy=∫[0→1] (2e^y-2y)dy

追问

谢谢,已经理解了.能不能顺便告诉我一个题目么.
级数(∞∑n=0) [(-1)^n*x^(2n+1)]/(2n+1)!的和函数是
A)sinx
B)cosx
C)sinx-x
D)cosx-x

追答

有三个基本的幂级数展开式
包括sinx = (∞∑n=0) [(-1)^n*x^(2n+1)]/(2n+1)!
这最好记一下

Answer 4

P(x,y)=e^y+x
Q(x,y)=xe^y-2y

∂P/∂y=e^y
∂Q/∂x=e^y
∂P/∂y=∂Q/∂x => 线积分与积分路径无关。

选择积分路径
L1: (0,0)->(2,0) L2: (2,0)->(2,1)
∫ L(e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy
=[∫ L1(e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy]+[∫ L2(e^y+x)dx+(xe^y-2y)dy]
=[∫ L1(e^0+x)dx]+[∫ L2(2*e^y-2y)dy]
=∫ [0->1](1+x)dx]+[∫ [0->1]2(e^y-y)dy]
=(x+x^2/2)|[0->1]+2(e^y-y^2/2)|[0->1]
=(3/2)+(e-3/2)
=e