Question

已知函数f(x)=1/2x^2+3/2x,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)[n属于N*]均在函数y=f(x)上

1.求数列an的通项公式an
2.令bn=an/2^(n-1)，求数列bn的前n项和Tn3.令cn=1/a(n-1),证明：c2^2+c3^2+c4^2+…+cn^2<1

Answer 1

1，Sn=f(n)=1/2*n^2+3/2*n
当n=1时，a1=S1=1/2+3/2=2；
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=1/2*n^2+3/2*n-1/2*(n-1)^2-3/2*(n-1)=n+1
而当n=1时，a1=2=1+1，满足此时
所以an=n+1 (n∈N+)
2，bn=(n+1)*(1/2)^(n-1)
Tn=2*(1/2)^0+3*(1/2)^1+……+(n+1)*(1/2)^(n-1)
那么1/2*Tn=2*(1/2)^1+……+n*(1/2)^(n-1)+(n+1)*(1/2)^n
两式相减，得：1/2*Tn=2+(1/2)^1+……+(1/2)^(n-1)-(n+1)*(1/2)^n
=2+(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(n+1)*(1/2)^n
=3-(n+3)*(1/2)^n
所以Tn=6-(n+3)*(1/2)^(n-1)
3，cn=1/n，那么当n>1时，cn^2=1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
所以，c2^2+c3^2+c4^2+……+cn^2<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
<1

Answer 2

Sn=f(n)点(n,Sn)[n属于N*]均在函数y=f(x)上
Sn=1/2n^2+3/2n
Sn-1=1/2(n-1)^2+3/2(x-1)
an=Sn-s(n-1)=1/2(n+n-1)(n-n+1)+3/2(x-x+1)=1/2(2n-1)+3/2=n+1
bn=an/2^(n-1)=(n+1)/2^(n-1)=n/2^(n-1)+1/2^(n-1)
Cn=n/2^(n-1) Dn=1/2^(n-1)
Scn=1/1+2/2+3/2^2+4/2^3+5/2^4+...+(n-1)/2^(n-2)+(n)/2^(n-1)
1/2Scn= 1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+...+(n-2)/2^(n-2)+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
Scn-1/2Scn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+...+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)-n/2^n
1/2Scn=1*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)-n/2^n=2-2^(1-n)-n*2^(-n)
Scn=4-2^(2-n)-n*2^(-n)

Sdn=1+1/2+1/4+1/2^3+...+1/2^(n-1)=2-2^(1-n)
Tn=Scn+Sdn=6-(4+2)2^(-n)-n2^(-n)=6-(6+n)/2^n

cn=1/a(n-1)=1/(n-1+1)=1/n
c2^2+c3^2+c4^2+…+cn^2
=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2<1
证明：
1/n^2<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n
（1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/n^2）<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n=1-1/n<1