Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点P是函数f（x）=e^x(x>0)图像上的动点，该图像在点P处的切线L交y轴于点N

P作L的垂线交y轴于点M，设线段MN的中点纵坐标为t，则t的最大值为多少？

Answer 1

解析，设p点得坐标为（a,b），那么，b=e^a
过p点的直线L的斜率为e^a，过p点垂直于L的直线的斜率为-1/(e^a)
因此，直线L方程为y-b=(x-a)*e^a。
当x=0时，y=b-a*e^a=(1-a)*e^a，故，要分两种情况，0<a≤1和a>1。
①当0<a≤1时，|ON|=(1-a)*e^a，
垂直于直线L的直线方程为，y-b=-(x-a)/(e^a)，此时，x=0，y=e^a+a/(e^a),
也即是，|OM|=e^a+a/(e^a)。
t=(|OM|+|ON|)/2=(1-a)*e^a+e^a+a/(e^a)=2e^a+a/(e^a)-a*e^a，把a当做变量，对t求导，
那么，t'=2e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}-(e^a+a*e^a)=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}
由于，0<a≤1,那么，t'≥0，故t为增函数，那么t的最大值就是，当a=1时t的值，
此时，t=e+1/e
②当a>1时，此时，N点得纵坐标为负值。故，|OM|=e^a+a/(e^a)，|ON|=(a-1)*e^a，
那么，t=(|OM|-|0N|)/2=2e^a+a/(e^a)-a*e^a，
t'=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}<0，也就是说，此时，t为减函数，故t的最大值也是，当a=1时t的值，
综上所述，t的最大值就是（e+1/e）。

Answer 2

　解：设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m（x-m）
令x=0，解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t=
1/2 [（2-m）em+me-m]
令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值
1/2 (e+e-1)
故答案为：
1/2(e+e-1)